5.2 Weiterreichende Mathematik

Ziel dieser Arbeit ist es einen, Überblick über die Kryptographie basierend auf elliptischen Kurven zu geben, so daß der Leser ein fundiertes Gundwissen erlangt.

Obwohl diese Arbeit viel mathematische Ausführungen, besonders über elliptische Kurven, beinhaltet, ist dazu zu sagen, daß elliptische Kurven und die zugrundeliegende Mathematik hier nicht annähernd vollständig erklärt worden sind.

So läßt sich der Punkt in den projektiven Raum einbetten und somit hat er auch konkrete Koordinaten und nicht nur die Hilfskonstruktion, die den Punkt im undendlich Fernen der perspektivischen Darstellung erscheinen läßt (Kapitel 2.4).

Weiter ist Z_pnicht der einzige Körper über dem die elliptischen Kurven zur Kryptographie genutzt werden können. So sind elliptische Kurven über einem Galoais-Feld GF(p^m) mit einer Primzahl p und m Î Z, besonders für p = 2 für hardwarenahe Implementierungen geiegnet, da einige Operationen direkt auf Binärebene durchführt werden können. GF(2^m) hat die Charakteristik 2, daher gilt nicht mehr die Vereinfachung nach Gl.2.1.3 .

Für das in Kapitel 2.5 vorgestellte Verfahren zur Vielfachaddition gibt es auch weitere Optimierungen, sowie andere Verfahren zu diesem Zweck. Diese Arbeiten mit Vorausberechnungen von bestimmten Punkten und benötigen daher zur Laufzeit viel Speicherplatz, sind aber dadurch schneller.

Elliptische Kurven lassen sich nicht nur zur Kryptographie verwenden, sondern es existieren auch Verfahren zur Faktorisierung oder zum Primzahlnachweis, die auf elliptischen Kurven basieren.

Abschließend sei dem mathematisch Interessierten das Buch "The Arithmetic of Elliptic Curves" von Joseph. H. Silverman[SIL86] empfohen. Es gilt in dem Bereich der Krypto-Verfahren basierend auf elliptischen Kurven als das Referenzwerk. Allerdings sind fundierte Mathematikkenntnise nötig, um dieses Buch zu verstehen.