2.1 Überblick

Der Graph einer elliptischen Kurve

Die Definition

Gegeben sei folgendes Polynom:

Eine elliptische Kurve E(K) über einem Körper K ist dann definiert als Menge aller Punkte (x,y), mit x, y Î K, für die gilt F(x, y) = 0. Dies ist eine algebraische Relation.

Sei der Graph E: die durch F(x, y) = 0 bestimmte algebraische Kurve, kurz:

Gl.2.1.1b

Da der Graph einer algebraischen Relation algebraische Kurve heißt [AM292] S.307,Def.2, wird er hier in diesem speziellen Fall 'elliptische Kurve' genannt. Es ist eine Weierstraß-Gleichung in Normalform.

Weiter muß gelten, daß die Kurve an keiner Stelle singulär ist, also keine Knoten, Spitzen oder Einsiedler bildet. Das ist gleichbedeutend damit, daß für jeden Punkt(x,y) der Kurve mindestens eine der beiden partiellen Ableitungen von F nach x oder nach y ungleich Null sind[AM292] S.307, Def.3. Formal also:

Gl.: 2.1.2

Dazu gibt es einen weiteren Punkt, der F(x,y) = 0 nicht erfüllt, aber trotzdem zu einer elliptischen Kurve gehört. Dieser wird mit '' bezeichnet. Dieser Punkt liegt im Unendlichen. Er wird benötigt, damit E(K) die Gruppeneigenschaften erfüllt, aber dazu später mehr.[HÜH95]

Diese elliptischen Kurven sind nicht nur über den reellen Zahlen R definiert, so wie man Funktionen aus der Schulmathematik kennt, sondern über einem beliebigen Körper K, also sind x und y nicht zwingend aus R. x und y sind aber immer aus demselben Körper.

Es gibt es für bestimmte K Vereinfachungen dieses Polynoms Gl.2.1.1. Diese Vereinfachungen hängen von der Charakteristik von K ab. Für die in dieser Arbeit betrachteten Körper R und Z_p der Charakteristik ¹ 2, 3 nimmt man folgende Vereinfachung vor[HÜH95], [HAM98]:

Gl.: 2.1.3

Die Koeffizienten a_1, a₃, a₂ sind gleich Null. Die Nebenbedingung aus Gl.2.1.2 ließe sich darstellen als:

Gl.2.1.3.b

Mit dieser Bedingung (Gl.2.1.3.b) ist es aber aufwendig, eine durch die Koeffizienten a₄ und a₆ gegebene elliptische Kurve auf Singularitäten zu überprüfen.

Durch Bestimmung der Diskriminante von E, läßt sich die Nebenbedingung so formulieren, daß die Koeffizienten Aufschluß über die Singularität der Kurve geben. Für diese muß dann folgende Bedingung gelten:

Gl.: 2.1.4

Anmerkung: Der Zusammenhang zwischen Diskriminante und der Singularität einer Kurve würde hier den Rahmen sprengen und ist nicht für das weitere Verständnis nötig, dazu sei [LEM98] empfohlen.

Im Weiteren sei für diese Vereinfachung a := a₄ und b := a₆, um die Lesbarkeit zu verbessern.[HAM98]

Für K = R läßt sich die Nebenbedingung auch graphisch deuten. Sie sorgt dafür, daß folgende Graphen (Abb.2.1.1, Abb.2.1.2) keine elliptischen Kurven sind, denn

Abb.2.1.1: E(R): y2 = x3		Abb.2.1.2: E(R): y2=x3-3x+2

es entsteht jeweils eine Singularität bei E(R): y² = x³( a,b = 0) im Ursprung als Spitze und eine bei E(R): y² = x³ - 3x + 2 (a = -3, b = 2) in (1, 0) als Knoten.[HÜH95]

Zum Verleich dazu sollten einmal im obigen Applet die Schieberegler bewegt und die unterschiedlichen Graphen betrachtet werden. Dieses Applet zeichnet nur definierte Kurven, also sind keine Singularitäten einstellbar.

Anmerkung: Der Name elliptische Kurve hat einen historischen Ursprung und entstand aus dem Problem, den Umfang einer Ellipse zu bestimmen.