Problemstellung
Im Rahmen einer Diplomarbeit ist hier eine Anleitung entstanden,
die ein bestimmtes Verschlüsselungs-Verfahren beschreibt. Der
genaue Titel der Diplomarbeit lautet:
Krypto-Verfahren basierend
auf elliptischen Kurven
- HTML-Tutorial mit JavaTM-Applet
- |
Das Tutorial allgemein soll als HTML -Dokument
erstellt werden und mit der Hilfe von interaktiven Java-Applets
die Funktionsweise und Besonderheiten von Krypto-Verfahren, basierend
auf elliptischen Kurven, veranschaulichen. Dieses Tutorial soll nicht
nur Kryptographieexperten, sondern auch dem interessierten Leser den
Zusammenhang zwischen Kryptographie
und elliptischen Kurven beschreiben. Daher werden sicherlich dem einen
oder anderen einige Passagen schon bekannt vorkommen, anderen werden
jedoch weitere Hintergrundinformationen fehlen, um jedes Detail genau
zu verstehen. Ich hoffe jedoch, daß ich mit diesem interaktiven
Tutorial dem größten Teil der Leser gerecht werden kann.
Vorausgestzt sind jedoch fundierte Kenntnisse der Schlumathematik.
Unter Krypto-Verfahren versteht man die unterschiedlichen Vorgehensweisen,
um Daten geheim zu übertragen. In der Regel werden dabei die Daten
durch Verschlüsselung unlesbar gemacht und durch die Entschlüsselung
wieder der ursprüngliche Text erzeugt. Von diesen Verfahren gibt
es viele, die ersten wurden schon im alten Rom verwandt. Diese Arbeit
handelt von der modernen Kryptographie, die erst mit Hilfe des Computers
möglich wird, da die Berechnung per Hand wegen der großen
Menge an Operationen unmöglich wäre.
Warum Kryptographie?
In den letzten Jahren hat sich gerade durch die starke Nutzung des
Internets die Frage gestellt: Wie sicher sind meine E-Mails vor dem
Lesen durch Unbefugte? Wie kann man sicherstellen, daß eine Nachricht
oder Internetseite wirklich von demjenigen ist, von dem man sie erwartet.
Hier kommen die asymmetrischen
Krypto-Verfahren
zum Einsatz. Bekannt ist wohl das Programm PGP ,
das z.B. mit dem ebenso bekannten Krypto-Verfahren RSA
arbeitet. Da RSA eine relativ lange Schlüssellänge
benötigt um sicher zu verschlüsseln, und dieser lange Schlüssel
auch noch lange Rechenzeit beim Ver- und Entschlüsseln in Anspruch
nimmt, wurde und wird nach effektiveren Krypto-Verfahren geforscht.
Das Ergebnis dieser Forschung sind Verfahren, die auf elliptischen Kurven
basieren.
Warum elliptische Kurven?
Das Interessante an Krypto-Verfahren, die auf elliptischen Kurven basieren,
ist, daß sie kürzere Schlüssel
benötigen, dadurch schneller sind und über einem anderen Zahlenraum
arbeiten. Dieser andere Zahlenraum gibt dem Ganzen auch den Namen; es
ist der Zahlenraum der elliptischen Kurven. Genauer gesagt wird die
Gruppe über den elliptischen Kurven genutzt, denn auf einer elliptischen
Kurve lassen sich Addition und weitere Eigenschaften einer Gruppe definieren.
Die meisten anderen Krypto-Verfahren arbeiten mit dem Körper ,
deren Elemente die ein Teil der ganzen Zahlen Z sind.
Im weiteren soll nun die Fragen geklärt werden, wie eine elliptische
Kurve aussieht, wie die Gruppe über den elliptischen Kurven definiert
ist, und wie Kryptosysteme mit diesem Körper benutzt werden.
Allerdings sei gesagt, daß elliptische Kurven, aus mathematischer
Sicht, hier nicht vollständig beschrieben werden können, da
diese Struktur eine solche Komplexität besitzt, daß kleine
Teilaspekte seitenlanger Ausführungen bedürften. Hier werden
nur die Aspekte der Kurven herausgestellt, die für die Kryptographie
wichtig sind.
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