1.1 Überblick

Problemstellung

Im Rahmen einer Diplomarbeit ist hier eine Anleitung entstanden, die ein bestimmtes Verschlüsselungs-Verfahren beschreibt. Der genaue Titel der Diplomarbeit lautet:

Das Tutorial allgemein soll als HTML-Dokument erstellt werden und mit der Hilfe von interaktiven Java-Applets die Funktionsweise und Besonderheiten von Krypto-Verfahren, basierend auf elliptischen Kurven, veranschaulichen. Dieses Tutorial soll nicht nur Kryptographieexperten, sondern auch dem interessierten Leser den Zusammenhang zwischen Kryptographie und elliptischen Kurven beschreiben. Daher werden sicherlich dem einen oder anderen einige Passagen schon bekannt vorkommen, anderen werden jedoch weitere Hintergrundinformationen fehlen, um jedes Detail genau zu verstehen. Ich hoffe jedoch, daß ich mit diesem interaktiven Tutorial dem größten Teil der Leser gerecht werden kann. Vorausgestzt sind jedoch fundierte Kenntnisse der Schlumathematik.

Unter Krypto-Verfahren versteht man die unterschiedlichen Vorgehensweisen, um Daten geheim zu übertragen. In der Regel werden dabei die Daten durch Verschlüsselung unlesbar gemacht und durch die Entschlüsselung wieder der ursprüngliche Text erzeugt. Von diesen Verfahren gibt es viele, die ersten wurden schon im alten Rom verwandt. Diese Arbeit handelt von der modernen Kryptographie, die erst mit Hilfe des Computers möglich wird, da die Berechnung per Hand wegen der großen Menge an Operationen unmöglich wäre.

Warum Kryptographie?

In den letzten Jahren hat sich gerade durch die starke Nutzung des Internets die Frage gestellt: Wie sicher sind meine E-Mails vor dem Lesen durch Unbefugte? Wie kann man sicherstellen, daß eine Nachricht oder Internetseite wirklich von demjenigen ist, von dem man sie erwartet. Hier kommen die asymmetrischen Krypto-Verfahren zum Einsatz. Bekannt ist wohl das Programm PGP, das z.B. mit dem ebenso bekannten Krypto-Verfahren RSA arbeitet. Da RSA eine relativ lange Schlüssellänge benötigt um sicher zu verschlüsseln, und dieser lange Schlüssel auch noch lange Rechenzeit beim Ver- und Entschlüsseln in Anspruch nimmt, wurde und wird nach effektiveren Krypto-Verfahren geforscht. Das Ergebnis dieser Forschung sind Verfahren, die auf elliptischen Kurven basieren.

Warum elliptische Kurven?

Das Interessante an Krypto-Verfahren, die auf elliptischen Kurven basieren, ist, daß sie kürzere Schlüssel benötigen, dadurch schneller sind und über einem anderen Zahlenraum arbeiten. Dieser andere Zahlenraum gibt dem Ganzen auch den Namen; es ist der Zahlenraum der elliptischen Kurven. Genauer gesagt wird die Gruppe über den elliptischen Kurven genutzt, denn auf einer elliptischen Kurve lassen sich Addition und weitere Eigenschaften einer Gruppe definieren. Die meisten anderen Krypto-Verfahren arbeiten mit dem Körper, deren Elemente die ein Teil der ganzen Zahlen Z sind.

Im weiteren soll nun die Fragen geklärt werden, wie eine elliptische Kurve aussieht, wie die Gruppe über den elliptischen Kurven definiert ist, und wie Kryptosysteme mit diesem Körper benutzt werden.
Allerdings sei gesagt, daß elliptische Kurven, aus mathematischer Sicht, hier nicht vollständig beschrieben werden können, da diese Struktur eine solche Komplexität besitzt, daß kleine Teilaspekte seitenlanger Ausführungen bedürften. Hier werden nur die Aspekte der Kurven herausgestellt, die für die Kryptographie wichtig sind.